Zbiór zadań

Znaleziono 29 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów z poszczególnymi ocenami:
   

   • ocenę $1$ - $2$ osoby
   • ocenę $2$ - $1$ osoba
   • ocenę $3$ - $6$ osób
   • ocenę $4$ - $5$ osób
   • ocenę $5$ - $7$ osób
   • ocenę $6$ - $5$ osób

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$2+1+6+5+7+5=26$$
2. Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $13.$ i $14.$ wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy, jakie oceny są na $13.$ i $14.$ miejscu.

   • ocenę $1$ - $2$ osoby - suma $2$
   • ocenę $2$ - $1$ osoba - suma $3$
   • ocenę $3$ - $6$ osób - suma $9$
   • ocenę $4$ - $5$ osób - suma $14$ - miejsce $13$ i $14$ są tutaj
   • ocenę $5$ - $7$ osób
   • ocenę $6$ - $5$ osób
3. Obliczamy medianę.
   $$\text{M}=\frac{4+4}{2}=4$$

1. Z definicji średniej arytmetycznej obliczamy sumę pierwszych trzech liczb oraz sumę kolejnych czterech liczb.
   $$\begin{array}{rl}& a+b+c=3\cdot 2=6\\ & d+e+f+g=4\cdot 5,5=22\end{array}$$
2. Sumujemy obie sumy i dzielimy przez liczbę wszystkich siedmiu liczb.
   $$\frac{6+22}{7}=\frac{28}{7}=4$$

1. Niech $n$ oznacza liczbę uczniów drugiej szkoły. Wtedy w pierwszej szkole jest $3n$ uczniów.
2. Sumaryczny wiek uczniów pierwszej szkoły to $3n\cdot 9=27n$, a drugiej szkoły to $n\cdot 13=13n$.
3. Średni wiek wszystkich uczniów to suma wieków podzielona przez łączną liczbę uczniów:
   $$\frac{27n+13n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10$$

1. Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów z każdą oceną:
   

   • ocenę $1$ - $2$ osoby
   • ocenę $2$ - $1$ osoba
   • ocenę $3$ - $6$ osób
   • ocenę $4$ - $5$ osób
   • ocenę $5$ - $7$ osób
   • ocenę $6$ - $5$ osób

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$2+1+6+5+7+5=26$$
2. Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $13.$ i $14.$ wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy jakie oceny są na $13$ i $14$ miejscu.

   • ocenę $1$ - $2$ osoby - suma $2$
   • ocenę $2$ - $1$ osoba - suma $3$
   • ocenę $3$ - $6$ osób - suma $9$
   • ocenę $4$ - $5$ osób - suma $14$ - miejsca $13$ i $14$ są tutaj
   • ocenę $5$ - $7$ osób
   • ocenę $6$ - $5$ osób
3. Obliczamy medianę:
   $$\text{M}=\frac{4+4}{2}=4$$

1. Sumujemy oceny pomnożone przez wagę odpowiedniej kategorii:
   $$2\cdot (4+4+3)+3\cdot (2+5)+4\cdot (5+4)=2\cdot 11+3\cdot 7+4\cdot 9=22+21+36=79$$
2. Sumujemy wagi wszystkich ocen (po $3$ oceny z wagą $2$, po $2$ oceny z wagą $3$ i po $2$ oceny z wagą $4$):
   $$3\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 4=6+6+8=20$$
3. Średnia ważona:
   $$\frac{79}{20}=3,95$$

1. Odczytujemy z diagramów liczby uczniów z poszczególnymi ocenami. W obu klasach jest po $20$ uczniów.
2. Obliczamy średnią klasy IV A:
   $$\frac{1\cdot 1+2\cdot 6+3\cdot 3+4\cdot 3+5\cdot 6+6\cdot 1}{20}=\frac{70}{20}=3,5$$
3. Obliczamy średnią klasy IV B:
   $$\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 6+4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 1}{20}=\frac{70}{20}=3,5$$
4. Średnie są równe, pierwsze zdanie jest prawdziwe.
5. W obu klasach $10.$ i $11.$ wyraz uporządkowanego ciągu ocen to odpowiednio $3$ i $4$, więc mediana w obu klasach wynosi $\frac{3+4}{2}=3,5$, drugie zdanie jest prawdziwe.

1. Obliczamy liczbę meczów odpowiadającą każdemu wycinkowi diagramu ($50$ meczów; wycinki to kolejno $8\%,42\%,32\%,12\%,6\%$ dla $0,1,2,3,4$ goli):
   $$0\text{ goli}:4,1\text{ gol}:21,2\text{ gole}:16,3\text{ gole}:6,4\text{ gole}:3$$
2. Mediana $50$ wyników to średnia arytmetyczna $25.$ i $26.$ wyrazu uporządkowanego ciągu. Skumulowane liczebności: po wyniku $0$ goli — $4$ mecze, po wyniku $1$ gol łącznie $4+21=25$ meczów, po wyniku $2$ gole łącznie $25+16=41$ meczów.
3. Zatem $25.$ wyraz to $1$ (ostatni z grupy „1 gol”), a $26.$ wyraz to $2$ (pierwszy z grupy „2 gole”). Mediana:
   $$\frac{1+2}{2}=1,5$$

1. Suma liczb $a,b,c$:
   $$\begin{array}{rl}\frac{a+b+c}{3}& =2\\ a+b+c& =3\cdot 2=6\end{array}$$
2. Suma liczb $d,e,f,g$:
   $$\begin{array}{rl}\frac{d+e+f+g}{4}& =5,5\\ d+e+f+g& =4\cdot 5,5=22\end{array}$$
3. Średnia siedmiu liczb:
   $$\frac{6+22}{7}=\frac{28}{7}=4$$

1. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb wynosi $3$, więc ich suma jest równa:
   $$1+2+3+4+5+x+y=7\cdot 3=21$$
2. Obliczamy sumę pierwszych pięciu liczb i wyznaczamy $x+y$:
   $$15+x+y=21⟹x+y=6$$

1. Z warunku zadania:
   $$\frac{a+b+c}{3}=12⟹a+b+c=36$$
2. Sumujemy sześć podanych liczb, wyłączając wspólny czynnik $5$:
   $$2a+3a+2b+3b+2c+3c=5a+5b+5c=5(a+b+c)=5\cdot 36=180$$
3. Średnią arytmetyczną otrzymujemy, dzieląc sumę przez liczbę składników, czyli $6$:
   $$\frac{180}{6}=30$$

1. Z diagramu odczytujemy liczby samochodów z daną liczbą usterek:
   

   • $1$ usterka - $16$ samochodów
   • $2$ usterki - $10$ samochodów
   • $3$ usterki - $6$ samochodów
   • $4$ usterki - $2$ samochody
   • $5$ usterek - $2$ samochody

   Łącznie zbadano:
   $$16+10+6+2+2=36$$
2. Dominantą jest wartość występująca najczęściej — najwięcej samochodów ($16$) miało dokładnie $1$ usterkę, więc dominanta jest równa $1$.
3. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby usterek:
   $$\bar{x}=\frac{1\cdot 16+2\cdot 10+3\cdot 6+4\cdot 2+5\cdot 2}{36}=\frac{16+20+18+8+10}{36}=\frac{72}{36}=2$$
4. Samochodów z co najmniej dwiema usterkami jest $10+6+2+2=20$, a z dokładnie jedną usterką jest $16$. Obliczamy, jaki procent liczby $16$ stanowi liczba $20$:
   $$\frac{20}{16}\cdot 100\%=125\%$$

1. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby punktów: mnożymy każdy wynik przez liczbę uczniów, którzy go uzyskali, sumujemy i dzielimy przez $32$:
   $$\bar{x}=\frac{0\cdot 4+1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 5+4\cdot 11+5\cdot 5}{32}=\frac{96}{32}=3$$
2. Wynik niższy od średniej ($3$) to $0$, $1$ lub $2$ punkty. Liczymy uczniów z takim wynikiem:
   $$4+2+5=11$$
3. Aby znaleźć medianę, ustawiamy wszystkie $32$ wyniki w kolejności niemalejącej i szukamy $16.$ oraz $17.$ wyrazu. Uczniów z wynikiem nie większym niż $2$ jest $4+2+5=11$, a z wynikiem nie większym niż $3$ jest $11+5=16$, więc $16.$ wyraz to $3$. Kolejny, $17.$ wyraz, należy już do grupy $11$ uczniów z wynikiem $4$, więc jest równy $4$:
4. Dominantą jest wynik, który wystąpił najczęściej — najliczniejsza jest grupa $11$ uczniów z wynikiem $4$ punkty, więc:
   $$Mo=4$$

1. Z diagramu odczytujemy liczbę samochodów z poszczególną liczbą wykrytych usterek:
   

   • $1$ usterka - $16$ samochodów
   • $2$ usterki - $10$ samochodów
   • $3$ usterki - $2$ samochody
   • $4$ usterki - $2$ samochody
   • $5$ usterek - $2$ samochody

   Łącznie przeglądom podlegało:
   $$16+10+2+2+2=32$$
2. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby usterek:
   $$\bar{x}=\frac{16\cdot 1+10\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 4+2\cdot 5}{32}=\frac{60}{32}=1,875$$
3. Liczba przeglądów jest parzysta ($32$), więc medianą jest średnia arytmetyczna wyniku na $16.$ i $17.$ miejscu w uporządkowanym niemalejąco ciągu. Szukamy, ile usterek odpowiada tym miejscom.
   

   • $1$ usterka - $16$ samochodów - suma $16$ - miejsce $16.$ jest tutaj
   • $2$ usterki - $10$ samochodów - suma $26$ - miejsce $17.$ jest tutaj
   • $3$ usterki - $2$ samochody - suma $28$
   • $4$ usterki - $2$ samochody - suma $30$
   • $5$ usterek - $2$ samochody - suma $32$
4. Obliczamy medianę:
   $$M_e=\frac{1+2}{2}=1,5$$

1. Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów, którzy otrzymali każdą ocenę:
   

   • ocenę $1$ - $1$ uczeń
   • ocenę $2$ - $3$ uczniów
   • ocenę $3$ - $4$ uczniów
   • ocenę $4$ - $4$ uczniów
   • ocenę $5$ - $5$ uczniów
   • ocenę $6$ - $7$ uczniów

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$1+3+4+4+5+7=24$$
2. Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $12.$ i $13.$ wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy jakie oceny są na $12$ i $13$ miejscu.

   • ocenę $1$ - $1$ uczeń - suma $1$
   • ocenę $2$ - $3$ uczniów - suma $4$
   • ocenę $3$ - $4$ uczniów - suma $8$
   • ocenę $4$ - $4$ uczniów - suma $12$ - miejsce $12$ jest tutaj
   • ocenę $5$ - $5$ uczniów - suma $17$ - miejsce $13$ jest tutaj
   • ocenę $6$ - $7$ uczniów
3. Obliczamy medianę:
   $$\text{M}=\frac{4+5}{2}=4,5$$
4. Dominantą (modą) jest ocena występująca najczęściej — jest to ocena $6$, którą otrzymało najwięcej uczniów, czyli $7$.