Zbiór zadań

Znaleziono 24 zadania. Losuj z tych filtrów →

1. Z wykresu odczytujemy liczbę finalistów w poszczególnych latach: $2018-10$, $2019-8$, $2020-0$, $2021-4$, $2022-12$, $2023-5$.
2. Obliczamy sumę finalistów z sześciu lat:
   $$10+8+0+4+12+5=39$$
3. Średnia arytmetyczna to suma podzielona przez liczbę lat:
   $$\frac{39}{6}=6,5$$

1. Z diagramu odczytujemy zysk firmy w poszczególnych kwartałach 2024 roku (w tysiącach złotych):
   $$I=300,II=450,III=600,IV=500$$
2. Obliczamy łączny zysk w całym roku 2024:
   $$300+450+600+500=1850$$
3. Sprawdzamy pierwsze zdanie: obliczamy $\frac{1}{6}$ zysku z całego roku i porównujemy z zyskiem w I kwartale:
   $$\frac{1}{6}\cdot 1850\approx 308,33\ne 300$$
4. Zysk w I kwartale ($300$) nie stanowi $\frac{1}{6}$ zysku rocznego, więc pierwsze zdanie jest fałszywe (F).
5. Sprawdzamy drugie zdanie: obliczamy zysk w pierwszym półroczu (I+II kwartał) i w drugim półroczu (III+IV kwartał):
   $$\begin{array}{rl}& I+II=300+450=750\\ & III+IV=600+500=1100\end{array}$$
6. Obliczamy różnicę między drugim a pierwszym półroczem:
   $$1100-750=350$$
7. Różnica jest równa dokładnie $350$ tysięcy złotych, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Ze średniej arytmetycznej liczb $x$ i $y$ wyznaczamy ich sumę:
   $$\frac{x+y}{2}=4⟹x+y=8$$
2. Ze średniej arytmetycznej liczb $x$, $y$, $z$ wyznaczamy sumę wszystkich trzech:
   $$\frac{x+y+z}{3}=5⟹x+y+z=15$$
3. Podstawiamy $x+y=8$ i obliczamy $z$:
   $$z=15-(x+y)=15-8=7$$

1. Średnia arytmetyczna ośmiu liczb jest równa $9$, więc suma tych liczb wynosi:
   $$8\cdot 9=72$$
2. Po dopisaniu dziewiątej liczby równej $9$ nowa suma i nowa liczba wszystkich liczb wynoszą odpowiednio:
   $$72+9=81,9\text{ liczb}$$
3. Nowa średnia arytmetyczna:
   $$\frac{81}{9}=9$$
4. Średnia arytmetyczna się nie zmieniła, bo dopisana liczba była równa dotychczasowej średniej.

1. Niech $n$ oznacza liczbę uczniów drugiej szkoły. Wtedy w pierwszej szkole jest $3n$ uczniów.
2. Sumaryczny wiek uczniów pierwszej szkoły to $3n\cdot 9=27n$, a drugiej szkoły to $n\cdot 13=13n$.
3. Średni wiek wszystkich uczniów to suma wieków podzielona przez łączną liczbę uczniów:
   $$\frac{27n+13n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10$$

1. Sumujemy oceny pomnożone przez wagę odpowiedniej kategorii:
   $$2\cdot (4+4+3)+3\cdot (2+5)+4\cdot (5+4)=2\cdot 11+3\cdot 7+4\cdot 9=22+21+36=79$$
2. Sumujemy wagi wszystkich ocen (po $3$ oceny z wagą $2$, po $2$ oceny z wagą $3$ i po $2$ oceny z wagą $4$):
   $$3\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 4=6+6+8=20$$
3. Średnia ważona:
   $$\frac{79}{20}=3,95$$

1. Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów z każdą oceną: ocena $1$ — $2$ osoby, ocena $2$ — $1$ osoba, ocena $3$ — $6$ osób, ocena $4$ — $5$ osób, ocena $5$ — $7$ osób, ocena $6$ — $5$ osób.
2. Obliczamy łączną liczbę uczniów:
   $$2+1+6+5+7+5=26$$
3. Ponieważ liczba uczniów jest parzysta, medianą jest średnia arytmetyczna $13.$ i $14.$ wyrazu uporządkowanego niemalejąco ciągu ocen.
4. Ustalamy skumulowaną liczbę uczniów: po ocenie $1$ mamy $2$ uczniów, po ocenie $2$ mamy $3$, po ocenie $3$ mamy $9$, po ocenie $4$ mamy $14$. Zatem zarówno $13.$, jak i $14.$ uczeń w uporządkowanym ciągu ma ocenę $4$.
5. Mediana jest więc równa:
   $$\frac{4+4}{2}=4$$

1. Odczytujemy z diagramów liczby uczniów z poszczególnymi ocenami: klasa IV A: $1,6,3,3,6,1$ (oceny $1$–$6$); klasa IV B: $1,3,6,6,3,1$. W obu klasach jest po $20$ uczniów.
2. Obliczamy średnią klasy IV A:
   $$\frac{1\cdot 1+2\cdot 6+3\cdot 3+4\cdot 3+5\cdot 6+6\cdot 1}{20}=\frac{70}{20}=3,5$$
3. Obliczamy średnią klasy IV B:
   $$\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 6+4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 1}{20}=\frac{70}{20}=3,5$$
4. Średnie są równe — pierwsze zdanie jest prawdziwe.
5. W obu klasach $10.$ i $11.$ wyraz uporządkowanego niemalejąco ciągu ocen (licząc skumulowane liczebności) to odpowiednio $3$ i $4$, więc mediana w obu klasach wynosi $\frac{3+4}{2}=3,5$ — drugie zdanie jest prawdziwe.

1. Obliczamy liczbę meczów odpowiadającą każdemu wycinkowi diagramu ($50$ meczów; wycinki to kolejno $8\%,42\%,32\%,12\%,6\%$ dla $0,1,2,3,4$ goli):
   $$0\text{ goli}:4,1\text{ gol}:21,2\text{ gole}:16,3\text{ gole}:6,4\text{ gole}:3$$
2. Mediana $50$ wyników to średnia arytmetyczna $25.$ i $26.$ wyrazu uporządkowanego ciągu. Skumulowane liczebności: po wyniku $0$ goli — $4$ mecze, po wyniku $1$ gol łącznie $4+21=25$ meczów, po wyniku $2$ gole łącznie $25+16=41$ meczów.
3. Zatem $25.$ wyraz to $1$ (ostatni z grupy „1 gol”), a $26.$ wyraz to $2$ (pierwszy z grupy „2 gole”). Mediana:
   $$\frac{1+2}{2}=1,5$$

1. Suma liczb $a,b,c$:
   $$a+b+c=3\cdot 2=6$$
2. Suma liczb $d,e,f,g$:
   $$d+e+f+g=4\cdot 5,5=22$$
3. Średnia siedmiu liczb:
   $$\frac{6+22}{7}=\frac{28}{7}=4$$

1. Z warunku zadania:
   $$\frac{a+b+c}{3}=12⟹a+b+c=36$$
2. Sumujemy sześć podanych liczb, wyłączając wspólny czynnik $5$:
   $$2a+3a+2b+3b+2c+3c=5a+5b+5c=5(a+b+c)=5\cdot 36=180$$
3. Średnią arytmetyczną otrzymujemy, dzieląc sumę przez liczbę składników, czyli $6$:
   $$\frac{180}{6}=30$$

1. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb wynosi $3$, więc ich suma jest równa:
   $$1+2+3+4+5+x+y=7\cdot 3=21$$
2. Obliczamy sumę pierwszych pięciu liczb i wyznaczamy $x+y$:
   $$15+x+y=21⟹x+y=6$$

1. Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów, którzy otrzymali każdą ocenę: ocena $1$ – $1$ uczeń, ocena $2$ – $3$ uczniów, ocena $3$ – $4$ uczniów, ocena $4$ – $4$ uczniów, ocena $5$ – $5$ uczniów, ocena $6$ – $7$ uczniów (razem $24$ uczniów).
2. Aby znaleźć medianę, ustawiamy wszystkie $24$ oceny w kolejności niemalejącej i szukamy średniej z $12$-tej i $13$-tej wartości. Licząc kolejno pozycje: oceny $1$–$2$ zajmują miejsca $1$–$4$, ocena $3$ miejsca $5$–$8$, ocena $4$ miejsca $9$–$12$, ocena $5$ miejsca $13$–$17$.
3. Zatem $12$-tą wartością jest ocena $4$, a $13$-tą ocena $5$. Mediana jest równa:
   $$\frac{4+5}{2}=4,5$$
4. Dominantą (modą) jest ocena występująca najczęściej — jest to ocena $6$, którą otrzymało najwięcej uczniów, czyli $7$.

1. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby punktów: mnożymy każdy wynik przez liczbę uczniów, którzy go uzyskali, sumujemy i dzielimy przez $32$:
   $$\bar{x}=\frac{0\cdot 4+1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 5+4\cdot 11+5\cdot 5}{32}=\frac{96}{32}=3$$
2. Wynik niższy od średniej ($3$) to $0$, $1$ lub $2$ punkty. Liczymy uczniów z takim wynikiem:
   $$4+2+5=11$$
3. Aby znaleźć medianę, ustawiamy wszystkie $32$ wyniki w kolejności niemalejącej i szukamy $16.$ oraz $17.$ wyrazu. Uczniów z wynikiem nie większym niż $2$ jest $4+2+5=11$, a z wynikiem nie większym niż $3$ jest $11+5=16$, więc $16.$ wyraz to $3$. Kolejny, $17.$ wyraz, należy już do grupy $11$ uczniów z wynikiem $4$, więc jest równy $4$:
4. Dominantą jest wynik, który wystąpił najczęściej — najliczniejsza jest grupa $11$ uczniów z wynikiem $4$ punkty, więc:
   $$Mo=4$$