Zbiór zadań

Znaleziono 42 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Z wykresu odczytujemy liczbę finalistów w poszczególnych latach: $2018-10$, $2019-8$, $2020-0$, $2021-4$, $2022-12$, $2023-5$.
2. Obliczamy sumę finalistów z sześciu lat:
   $$10+8+0+4+12+5=39$$
3. Średnia arytmetyczna to suma podzielona przez liczbę lat:
   $$\frac{39}{6}=6,5$$

1. Z diagramu odczytujemy zysk firmy w poszczególnych kwartałach 2024 roku (w tysiącach złotych):
   $$I=300,II=450,III=600,IV=500$$
2. Obliczamy łączny zysk w całym roku 2024:
   $$300+450+600+500=1850$$
3. Sprawdzamy pierwsze zdanie: obliczamy $\frac{1}{6}$ zysku z całego roku i porównujemy z zyskiem w I kwartale:
   $$\frac{1}{6}\cdot 1850\approx 308,33\ne 300$$
4. Zysk w I kwartale ($300$) nie stanowi $\frac{1}{6}$ zysku rocznego, więc pierwsze zdanie jest fałszywe (F).
5. Sprawdzamy drugie zdanie: obliczamy zysk w pierwszym półroczu (I+II kwartał) i w drugim półroczu (III+IV kwartał):
   $$\begin{array}{rl}& I+II=300+450=750\\ & III+IV=600+500=1100\end{array}$$
6. Obliczamy różnicę między drugim a pierwszym półroczem:
   $$1100-750=350$$
7. Różnica jest równa dokładnie $350$ tysięcy złotych, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Ze średniej arytmetycznej liczb $x$ i $y$ wyznaczamy ich sumę:
   $$\frac{x+y}{2}=4⟹x+y=8$$
2. Ze średniej arytmetycznej liczb $x$, $y$, $z$ wyznaczamy sumę wszystkich trzech:
   $$\frac{x+y+z}{3}=5⟹x+y+z=15$$
3. Podstawiamy $x+y=8$ i obliczamy $z$:
   $$z=15-(x+y)=15-8=7$$

1. Średnia arytmetyczna ośmiu liczb jest równa $9$, więc suma tych liczb wynosi:
   $$8\cdot 9=72$$
2. Po dopisaniu dziewiątej liczby równej $9$ nowa suma i nowa liczba wszystkich liczb wynoszą odpowiednio:
   $$72+9=81,9\text{ liczb}$$
3. Nowa średnia arytmetyczna:
   $$\frac{81}{9}=9$$
4. Średnia arytmetyczna się nie zmieniła, bo dopisana liczba była równa dotychczasowej średniej.

1. Oznaczmy liczbę uczniów drugiej szkoły przez $n$. W pierwszej szkole jest wtedy $3n$ uczniów. Sumę wieku uczniów w każdej szkole obliczamy jako iloczyn liczby uczniów i średniego wieku.
   $$\begin{array}{rl}& {\text{suma}}_1=3n\cdot 9=27n\\ & {\text{suma}}_2=n\cdot 13=13n\end{array}$$
2. Średnią ważoną wieku wszystkich uczniów obliczamy, dzieląc łączną sumę wieku przez łączną liczbę uczniów.
   $$\frac{27n+13n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10$$

1. Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów z poszczególnymi ocenami:
   

   • ocenę $1$ - $2$ osoby
   • ocenę $2$ - $1$ osoba
   • ocenę $3$ - $6$ osób
   • ocenę $4$ - $5$ osób
   • ocenę $5$ - $7$ osób
   • ocenę $6$ - $5$ osób

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$2+1+6+5+7+5=26$$
2. Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $13.$ i $14.$ wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy, jakie oceny są na $13.$ i $14.$ miejscu.

   • ocenę $1$ - $2$ osoby - suma $2$
   • ocenę $2$ - $1$ osoba - suma $3$
   • ocenę $3$ - $6$ osób - suma $9$
   • ocenę $4$ - $5$ osób - suma $14$ - miejsce $13$ i $14$ są tutaj
   • ocenę $5$ - $7$ osób
   • ocenę $6$ - $5$ osób
3. Obliczamy medianę.
   $$\text{M}=\frac{4+4}{2}=4$$

1. Z definicji średniej arytmetycznej obliczamy sumę pierwszych trzech liczb oraz sumę kolejnych czterech liczb.
   $$\begin{array}{rl}& a+b+c=3\cdot 2=6\\ & d+e+f+g=4\cdot 5,5=22\end{array}$$
2. Sumujemy obie sumy i dzielimy przez liczbę wszystkich siedmiu liczb.
   $$\frac{6+22}{7}=\frac{28}{7}=4$$

1. Niech $n$ oznacza liczbę uczniów drugiej szkoły. Wtedy w pierwszej szkole jest $3n$ uczniów.
2. Sumaryczny wiek uczniów pierwszej szkoły to $3n\cdot 9=27n$, a drugiej szkoły to $n\cdot 13=13n$.
3. Średni wiek wszystkich uczniów to suma wieków podzielona przez łączną liczbę uczniów:
   $$\frac{27n+13n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10$$

1. Sumujemy oceny pomnożone przez wagę odpowiedniej kategorii:
   $$2\cdot (4+4+3)+3\cdot (2+5)+4\cdot (5+4)=2\cdot 11+3\cdot 7+4\cdot 9=22+21+36=79$$
2. Sumujemy wagi wszystkich ocen (po $3$ oceny z wagą $2$, po $2$ oceny z wagą $3$ i po $2$ oceny z wagą $4$):
   $$3\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 4=6+6+8=20$$
3. Średnia ważona:
   $$\frac{79}{20}=3,95$$

1. Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów z każdą oceną:
   

   • ocenę $1$ - $2$ osoby
   • ocenę $2$ - $1$ osoba
   • ocenę $3$ - $6$ osób
   • ocenę $4$ - $5$ osób
   • ocenę $5$ - $7$ osób
   • ocenę $6$ - $5$ osób

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$2+1+6+5+7+5=26$$
2. Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $13.$ i $14.$ wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy jakie oceny są na $13$ i $14$ miejscu.

   • ocenę $1$ - $2$ osoby - suma $2$
   • ocenę $2$ - $1$ osoba - suma $3$
   • ocenę $3$ - $6$ osób - suma $9$
   • ocenę $4$ - $5$ osób - suma $14$ - miejsca $13$ i $14$ są tutaj
   • ocenę $5$ - $7$ osób
   • ocenę $6$ - $5$ osób
3. Obliczamy medianę:
   $$\text{M}=\frac{4+4}{2}=4$$

1. Odczytujemy z diagramów liczby uczniów z poszczególnymi ocenami. W obu klasach jest po $20$ uczniów.
2. Obliczamy średnią klasy IV A:
   $$\frac{1\cdot 1+2\cdot 6+3\cdot 3+4\cdot 3+5\cdot 6+6\cdot 1}{20}=\frac{70}{20}=3,5$$
3. Obliczamy średnią klasy IV B:
   $$\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 6+4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 1}{20}=\frac{70}{20}=3,5$$
4. Średnie są równe, pierwsze zdanie jest prawdziwe.
5. W obu klasach $10.$ i $11.$ wyraz uporządkowanego ciągu ocen to odpowiednio $3$ i $4$, więc mediana w obu klasach wynosi $\frac{3+4}{2}=3,5$, drugie zdanie jest prawdziwe.

1. Obliczamy liczbę meczów odpowiadającą każdemu wycinkowi diagramu ($50$ meczów; wycinki to kolejno $8\%,42\%,32\%,12\%,6\%$ dla $0,1,2,3,4$ goli):
   $$0\text{ goli}:4,1\text{ gol}:21,2\text{ gole}:16,3\text{ gole}:6,4\text{ gole}:3$$
2. Mediana $50$ wyników to średnia arytmetyczna $25.$ i $26.$ wyrazu uporządkowanego ciągu. Skumulowane liczebności: po wyniku $0$ goli — $4$ mecze, po wyniku $1$ gol łącznie $4+21=25$ meczów, po wyniku $2$ gole łącznie $25+16=41$ meczów.
3. Zatem $25.$ wyraz to $1$ (ostatni z grupy „1 gol”), a $26.$ wyraz to $2$ (pierwszy z grupy „2 gole”). Mediana:
   $$\frac{1+2}{2}=1,5$$

1. Suma liczb $a,b,c$:
   $$\begin{array}{rl}\frac{a+b+c}{3}& =2\\ a+b+c& =3\cdot 2=6\end{array}$$
2. Suma liczb $d,e,f,g$:
   $$\begin{array}{rl}\frac{d+e+f+g}{4}& =5,5\\ d+e+f+g& =4\cdot 5,5=22\end{array}$$
3. Średnia siedmiu liczb:
   $$\frac{6+22}{7}=\frac{28}{7}=4$$

1. Robert czytał od wtorku do soboty, czyli przez $5$ dni. Obliczam łączną liczbę przeczytanych stron, mnożąc liczbę dni przez średnią dzienną.
   $$5\cdot 60=300$$
2. Dodaję liczby stron przeczytanych od wtorku do piątku.
   $$55+68+72+49=244$$
3. Liczbę stron przeczytanych w sobotę obliczam jako różnicę łącznej liczby stron i sumy z czterech dni.
   $$300-244=56$$