Zbiór zadań

Znaleziono 51 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Skoro liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, to $f(2)=0$. Podstawiamy $x=2$ do wzoru funkcji:
   $$2\cdot 2^2-k\cdot 2+6=0$$
2. Rozwiązujemy równanie ze względu na $k$:
   $$\begin{array}{rl}& 8-2k+6=0\\ & 14=2k\\ & k=7\end{array}$$

1. Piłeczka uderza w ziemię, gdy jej wysokość wynosi $0$. Rozwiązujemy równanie:
   $$-4,9t^2+14,7t=0$$
2. Wyłączamy $t$ przed nawias:
   $$t(-4,9t+14,7)=0$$
3. Stąd $t=0$ (chwila wyrzucenia) albo:
   $$\begin{array}{rl}& -4,9t+14,7=0\\ & t=\frac{14,7}{4,9}\\ & t=3\end{array}$$
4. Pierwsze uderzenie o ziemię (dla $t>0$) następuje więc w chwili $t=3$ s.

1. Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, czyli prostej $x=-3$.
2. Punkty $t$ i $-9$ dają tę samą wartość funkcji, więc są symetryczne względem $x=-3$. Odległość punktu $-9$ od osi symetrii wynosi:
   $$-3-(-9)=6$$
3. Punkt $t$ leży w tej samej odległości po drugiej stronie osi symetrii:
   $$t=-3+6=3$$

1. Wzór $g(x)=f(x-5)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $5$ jednostek w prawo wzdłuż osi $Ox$, bez zmiany współrzędnej $y$.
2. Wierzchołek $W=(-3,7)$ przesuwa się więc do punktu:
   $$(-3+5,7)=(2,7)$$

1. Współczynnik przy $(x-\pi {)}^2$ jest ujemny ($-5$), więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek w punkcie $x=\pi$ jest miejscem, w którym funkcja przyjmuje największą wartość.
   
2. Ponieważ $\pi \approx 3,14\in [0,6]$, wartość największa w tym przedziale jest osiągana dla:
   $$x=\pi$$

1. Ponieważ parabola ma ramiona skierowane w dół z wierzchołkiem w $x=\pi$, na przedziale domkniętym wartość najmniejsza jest osiągana w tym końcu przedziału, który jest dalej od $\pi$.
   
2. Porównujemy odległości końców przedziału od $\pi$: $\pi -0=\pi \approx 3,14$ oraz $6-\pi \approx 2,86$.
3. Punkt $x=0$ jest dalej od wierzchołka niż $x=6$, więc to w $x=0$ funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale $[0,6]$:
   $$x=0$$

1. Piłeczka uderza o ziemię, gdy $h(t)=0$:
   $$-4,9t^2+14,7t=0⟹t(-4,9t+14,7)=0$$
2. Rozwiązaniami są $t=0$ (moment wyrzutu) oraz:
   $$\begin{array}{rl}-& 4,9t+14,7=0\\ & t=\frac{14,7}{4,9}=3\end{array}$$
3. Pierwsze uderzenie o ziemię (dla $t>0$) następuje więc w chwili $t=3$ s.

1. Wysokość opisuje funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół ($a=-4,9<0$), więc największą wartość osiąga w wierzchołku paraboli:
   $$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{14,7}{2\cdot (-4,9)}=\frac{14,7}{9,8}=1,5$$

1. Oś symetrii paraboli o wzorze $f(x)=a{x}^2+bx+c$ wyraża się wzorem $x=-\frac{b}{2a}$. Tutaj $a=\frac{1}{2}$, a oś symetrii to $x=1$, więc:
   $$-\frac{b}{2\cdot \frac{1}{2}}=1$$
2. Rozwiązujemy równanie.
   $$\begin{array}{rl}& -b=1\\ & b=-1\end{array}$$

1. Oś symetrii paraboli leży w połowie odległości między jej miejscami zerowymi. Skoro jedno miejsce zerowe to $6$, a oś symetrii to $x=1$, drugie miejsce zerowe $x_2$ wyznaczamy z warunku:
   $$\frac{6+x_2}{2}=1$$
2. Rozwiązujemy równanie.
   $$\begin{array}{rl}& 6+x_2=2\\ & x_2=-4\end{array}$$
3. Funkcję kwadratową o współczynniku $a=\frac{1}{2}$ i miejscach zerowych $-4$ oraz $6$ zapisujemy w postaci iloczynowej.
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$$

1. Wzór $g(x)=f(x-3)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $x$. Oś symetrii przesuwa się o tyle samo.
2. Oś symetrii wykresu funkcji $f$ to $x=1$, więc oś symetrii wykresu funkcji $g$ to:
   $$x=1+3=4$$

1. Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej, wykorzystując współrzędne wierzchołka $(3,6)$:
   $$f(x)=a(x-3{)}^2+6,a\ne 0$$
2. Parabola przechodzi przez punkt $(0,3)$, więc $f(0)=3$:
   $$a(0-3{)}^2+6=3$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 9a+6=3\\ & 9a=-3\\ & a=-\frac{1}{3}\end{array}$$
4. Zatem wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej to:
   $$f(x)=-\frac{1}{3}(x-3{)}^2+6$$

1. Oś symetrii paraboli to prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek. Wierzchołek ma współrzędne $(3,6)$, więc osią symetrii jest prosta:
   $$x=3$$

1. Miejsca zerowe funkcji $g$ to argumenty, dla których $g(x)=0$, czyli $f(x)=3$:
   $$g(x)=0⟺f(x)=3$$
2. Z treści zadania wiemy, że $f(0)=3$ (parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,3)$), więc $x=0$ jest jednym z miejsc zerowych funkcji $g$. Drugie miejsce zerowe jest symetryczne do $x=0$ względem osi symetrii $x=3$:
3. Zatem $x_1=0$, $x_2=6$, a ich suma:
   $$x_1+x_2=0+6=6$$