Statystyka

Średnia, mediana, dominanta i odchylenie standardowe oraz odczytywanie danych z tabel i diagramów. Dział, w którym najczęściej myli się średnią zwykłą ze średnią ważoną.

Ten dział to średnio 1 zadanie i 1 pkt na arkuszu.

Zadanie 1 Statystyka

1 pkt

Na stronie internetowej szkoły zamieszczono diagram słupkowy przedstawiający liczbę finalistów konkursów przedmiotowych z sześciu kolejnych lat.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia roczna liczba finalistów w okresie tych sześciu lat była równa

6, 5

1
Z wykresu odczytujemy liczbę finalistów w poszczególnych latach:
- $2018$ : $10$
- $2019$ : $8$
- $2020$ : $0$
- $2021$ : $4$
- $2022$ : $12$
- $2023$ : $5$
2
Średnia to suma liczb finalistów podzielona przez liczbę lat, więc dodajemy liczby z sześciu lat i dzielimy przez $6$ .
$10 + 8 + 0 + 4 + 12 + 5 = 39 \frac{39}{6} = 6, 5$

Lista zadań

Egzamin ósmoklasisty grudzień 2018, zadanie 9Państwo Nowakowie mają trzy córki i jednego syna. Średnia wieku wszystkich dzieci państwa Nowaków jest… Ile lat ma syn państwa Nowaków?

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Średnia arytmetyczna, ważona i geometryczna
Mediana i dominanta zestawu danych
Wariancja i odchylenie standardowe
Odczytywanie danych z tabel, diagramów słupkowych i kołowych
Wnioskowanie o zestawie danych po zmianie jednej wartości

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Parametry danych statystycznych

Średnia arytmetyczna
$\overset{a}{ˉ}$ z liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ jest równa:

\overset{a}{ˉ} = \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n}

Średnia geometryczna
$\overset{g}{ˉ}$ z liczb nieujemnych $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ jest równa:

\overset{g}{ˉ} = n a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}

Średnia kwadratowa
$\overset{ˉ}{k}$ z liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ jest równa:

\overset{ˉ}{k} = \frac{( a _{1} ) ^{2} + ( a _{2} ) ^{2} + \dots + ( a _{n} ) ^{2}}{n}

Nierówności między średnimi liczbowymi
Niech $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ będą liczbami nieujemnymi. Wtedy (przy powyższych oznaczeniach) prawdziwe są nierówności:

\overset{ˉ}{k} \geq \overset{a}{ˉ} \geq \overset{g}{ˉ}

Ponadto równość pomiędzy tymi średnimi liczbowymi zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ .

Średnia ważona
$\overset{s}{ˉ}$ z liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ , którym przypisano dodatnie wagi – odpowiednio: $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ , jest równa:

\overset{s}{ˉ} = \frac{w _{1} \cdot a _{1} + w _{2} \cdot a _{2} + \dots + w _{n} \cdot a _{n}}{w _{1} + w _{2} + \dots + w _{n}}

Mediana
Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru $n$ danych liczbowych $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ jest:

— dla $n$ nieparzystych: $a_{\frac{n + 1}{2}}$ (środkowy wyraz ciągu);

— dla $n$ parzystych: $\frac{1}{2} \cdot (a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2} + 1})$ (średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów ciągu).

Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancja $σ^{2}$ danych liczbowych $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ o średniej arytmetycznej $\overset{a}{ˉ}$ jest równa:

σ^{2} = \frac{( a _{1} - a ˉ ) ^{2} + ( a _{2} - a ˉ ) ^{2} + \dots + ( a _{n} - a ˉ ) ^{2}}{n}

Prawdziwa jest też równość:

σ^{2} = \frac{( a _{1} ) ^{2} + ( a _{2} ) ^{2} + \dots + ( a _{n} ) ^{2}}{n} - (\overset{a}{ˉ})^{2}

Odchylenie standardowe $σ$ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji:

σ = \frac{( a _{1} - a ˉ ) ^{2} + ( a _{2} - a ˉ ) ^{2} + \dots + ( a _{n} - a ˉ ) ^{2}}{n}

Najczęstsze pytania

Średnia to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę, a mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu danych. Mediana nie reaguje na pojedyncze skrajne wyniki, dlatego bywa lepszym opisem zestawu z odstającą wartością.

Porządkujesz dane niemalejąco i bierzesz średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu statystyka.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Parametry danych statystycznych

Najczęstsze pytania