Informacja do zadań 19.–20. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD takich, że |AB| = 2 · |CD|. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek). Pole trójkąta CDE jest równe 2, a pole trójkąta BCE jest równe 4. Pole trójkąta AED jest równe

Zadanie 19 - Matura podstawowa 2025 (sierpień, F. 2015) - Rozwiązanie

1 pkt

Informacja do zadań 19.–20.
Dany jest trapez

A B C D

o podstawach

A B

C D

takich, że

∣ A B ∣ = 2 \cdot ∣ C D ∣

. Przekątne

A C

B D

przecinają się w punkcie

E

(zobacz rysunek). Pole trójkąta

C D E

jest równe

2

, a pole trójkąta

B C E

jest równe

4

.

Pole trójkąta

A E D

jest równe

Poprawna odpowiedź

4

Z warunku $∣ A B ∣ = 2 \cdot ∣ C D ∣$ oraz $A B ∥ C D$ wynika, że trójkąty $A B E$ i $C D E$ są podobne (kąty wierzchołkowe przy $E$ oraz kąty naprzemianległe przy $A B ∥ C D$ ) w skali $2 : 1$ . Przekątne dzielą się więc w punkcie $E$ w tym samym stosunku.
$∣ A E ∣ : ∣ E C ∣ = ∣ B E ∣ : ∣ E D ∣ = ∣ A B ∣ : ∣ C D ∣ = 2 : 1$
Trójkąty $A E D$ i $C E D$ mają wspólny wierzchołek $D$ , a ich podstawy $A E$ i $E C$ leżą na jednej prostej $A C$ , więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi tych podstaw.
$\frac{P _{A E D}}{P _{C E D}} = \frac{∣ A E ∣}{∣ E C ∣} = 2$
Obliczamy szukane pole, korzystając z danego pola trójkąta $C D E$ .
$P_{A E D} = 2 \cdot P_{C E D} = 2 \cdot 2 = 4$