Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego… - Matura podstawowa sierpień 2023, zadanie 29.2, rozwiązanie

Zadanie 29.2 - Matura podstawowa 2023 (sierpień) - Rozwiązanie

1 pkt

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą

6

.

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

cos α = \frac{2 5}{5}

Najdłuższą przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki, którego rzutem na płaszczyznę podstawy jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego. Przechodzi ona przez środek podstawy i ma długość równą podwojonej długości boku:
$d = 2 a = 2 \cdot 6 = 12$
Ta przekątna podstawy, wysokość graniastosłupa (równa krawędzi bocznej $h = 6$ ) oraz szukana przekątna przestrzenna tworzą trójkąt prostokątny. Obliczamy długość przekątnej przestrzennej $e$ :
$e = d^{2} + h^{2} e = 1 2^{2} + 6^{2} e = 144 + 36 = 180 = 65$
Kąt nachylenia przekątnej $e$ do płaszczyzny podstawy leży przy przekątnej podstawy $d$ , więc jego cosinus to stosunek przyprostokątnej $d$ do przeciwprostokątnej $e$ :
$cos α = \frac{d}{e} cos α = \frac{12}{6 5} = \frac{2}{5} = \frac{2 5}{5}$

Zadanie 29.2 - Matura podstawowa 2023 (sierpień) - Rozwiązanie