Zbiór zadań

Znaleziono 13 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Niech $x$ oznacza liczbę biletów normalnych, a $y$ - liczbę biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie. Z treści zadania układamy dwa równania: łączną liczbę sprzedanych biletów oraz przychód organizatorów po odliczeniu $25\%$ kosztów.
   $$\{\begin{array}{l}x+y=200\\ 0,75\cdot (35x+25y)=4665\end{array}$$
2. Z pierwszego równania wyznaczamy $x=200-y$ i podstawiamy do drugiego równania, a następnie rozwiązujemy je względem $y$:
   $$\begin{array}{rl}& 0,75\cdot [35(200-y)+25y]=4665\\ & 35(200-y)+25y=6220\\ & 7000-35y+25y=6220\\ & -10y=-780\\ & y=78\end{array}$$
3. Zatem na przedstawienie sprzedano $78$ biletów ulgowych.

1. Oznaczmy: $x$ – liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie, $y$ – liczba drzew posadzonych w drugim sadzie. Z treści zadania:
   $$x+y=1410\text{oraz}0,85y=0,70\cdot 0,80x$$
2. Z pierwszego równania wyznaczamy $y=1410-x$ i podstawiamy do drugiego:
   $$0,85(1410-x)=0,56x$$
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 1198,5-0,85x=0,56x\\ & 1,41x=1198,5\\ & x=850\end{array}$$
4. W maju 2024 roku w pierwszym sadzie posadzono $850$ drzew.

1. Przy procencie składanym po każdym roku kapitał mnożymy przez czynnik $1+6\%=1,06$. Po trzech latach ten czynnik mnożymy przez siebie trzykrotnie:
   $$K_0\cdot 1,06\cdot 1,06\cdot 1,06=K_0\cdot (1,06{)}^3$$

1. Zapisujemy równanie procentu składanego dla dwóch lat, gdzie $p$ to roczne oprocentowanie w procentach:
   $$60000\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2=67925,76$$
2. Dzielimy obie strony przez $60000$:
   $${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2=\frac{67925,76}{60000}=1,132096$$
3. Pierwiastkujemy obie strony (oprocentowanie jest dodatnie):
   $$1+\frac{p}{100}=\sqrt{1,132096}=1,064$$
4. Wyznaczamy $p$:
   $$\frac{p}{100}=0,064⟹p=6,4$$

1. Ponieważ w obu sadach łącznie posadzono $1960$ drzew:
   $$x+y=1960$$
2. Po roku w pierwszym sadzie uschło $5\%$ drzew, więc pozostało $0,95x$ drzew; w drugim sadzie uschło $10\%$, więc pozostało $0,9y$ drzew. Liczba drzew pozostałych w drugim sadzie stanowiła $60\%$ liczby drzew pozostałych w pierwszym sadzie, czyli:
   $$0,9y=0,6\cdot 0,95x$$
3. Otrzymujemy układ równań zgodny z odpowiedzią A:
   $$\begin{array}{rl}& x+y=1960\\ & 0,6\cdot 0,95x=0,9y\end{array}$$

1. Oznaczmy przez $x$ kwotę wpłaconą na lokatę. Po każdym roku kapitał rośnie o $5\%$, czyli mnożymy go przez $1,05$. Po dwóch latach otrzymujemy równanie:
   $$x\cdot 1,05^2=4851$$
2. Obliczamy $1,05^2$ i wyznaczamy $x$:
   $$\begin{array}{rl}& x\cdot 1,1025=4851\\ & x=\frac{4851}{1,1025}=4400\end{array}$$

1. Po pierwszym roku kapitał powiększa się o $7\%$, czyli mnożymy go przez $1,07$:
   $$30000\cdot 1,07=32100$$
2. Po drugim roku znowu doliczamy $7\%$, tym razem od nowego kapitału:
   $$32100\cdot 1,07=34347$$
3. Łączna wartość doliczonych odsetek to różnica między kapitałem końcowym a wpłaconym:
   $$34347-30000=4347$$

1. Przy kapitalizacji rocznej po $n$ latach kapitał początkowy mnożymy przez $(1+r{)}^n$, gdzie $r$ to roczna stopa procentowa. Tutaj $r=0,07$ i $n=2$:
   $$40000\cdot (1+0,07{)}^2=40000\cdot (1,07{)}^2$$

1. Niech $c$ oznacza cenę działki przed obniżkami. Każda obniżka o $10\%$ oznacza pomnożenie aktualnej ceny przez $0,9$, więc po dwóch obniżkach otrzymujemy równanie:
   $$c\cdot 0,9\cdot 0,9=78732$$
2. Upraszczamy równanie:
   $$c\cdot 0,81=78732$$
3. Wyznaczamy $c$:
   $$c=\frac{78732}{0,81}=97200$$

1. Po pierwszej obniżce o $30\%$ cena stanowi $70\%$ ceny początkowej:
   $$0,7x$$
2. Po drugiej obniżce o $20\%$ (liczonej od nowej ceny) zostaje $80\%$ tej wartości:
   $$0,8\cdot 0,7x=0,56x$$

1. Zapisujemy zależność między $78$ a liczbą $c$:
   $$1,5c=78$$
2. Wyznaczamy $c$:
   $$c=\frac{78}{1,5}=52$$

1. Zapisujemy zależność między $x$ i $y$: liczba $x$ stanowi $80\%$ liczby $y$, czyli
   $$x=0,8y$$
2. Wyznaczamy $y$ z równania:
   $$\begin{array}{rl}& y=\frac{x}{0,8}\\ & y=1,25x\end{array}$$
3. Zatem liczba $y$ to $125\%$ liczby $x$.