Zadanie 14 - Matura podstawowa 2024 (grudzień) - Rozwiązanie

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 \cdot (- 1)^{n} + 10

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.	P	F
Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $80$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Obliczamy pierwsze kilka wyrazów ciągu:
$a_{1} = 3 \cdot (- 1) + 10 = 7, a_{2} = 3 \cdot 1 + 10 = 13, a_{3} = 3 \cdot (- 1) + 10 = 7$
Sprawdzamy iloraz między kolejnymi wyrazami:
$\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{13}{7}, \frac{a _{3}}{a _{2}} = \frac{7}{13}$
Ilorazy są różne, więc ciąg NIE jest geometryczny — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Ciąg jest naprzemienny: dla $n$ nieparzystych $a_{n} = 7$ , dla $n$ parzystych $a_{n} = 13$ . Wśród ośmiu początkowych wyrazów są po cztery wyrazy każdego rodzaju, więc suma wynosi:
$4 \cdot 7 + 4 \cdot 13 = 28 + 52 = 80$
Otrzymana suma jest równa $80$ , więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Podobne zadania z działu ciągi