Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 12.1, rozwiązanie

2 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

dla każdej liczby dodatniej

x

.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

x

wyrażenie

8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

można równoważnie przekształcić do postaci

x^{4} + x^{2} - 6 x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x = x^{4} + x^{2} - 6 x

Przekształcamy pierwszy składnik, korzystając z zapisu $81 = 3^{4}$ oraz własności $3^{l o g_{3} x} = x$ :
$8 1^{l o g_{3} x} = (3^{4})^{l o g_{3} x} = (3^{l o g_{3} x})^{4} = x^{4}$
Upraszczamy $lo g_{2} 27$ , zapisując $27 = 2 7^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ :
$lo g_{2} 27 = lo g_{2} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g_{2} 3$
Podstawiamy do współczynnika przy $x^{2}$ :
$\frac{2 \cdot \frac{3}{2} lo g _{2} 3 \cdot lo g _{3} 2}{3} = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2$
Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu ( $lo g_{2} 3 = \frac{1}{lo g _{3} 2}$ ), więc iloczyn upraszcza się do $1$ :
$lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{1}{lo g _{3} 2} \cdot lo g_{3} 2 = 1$
Podstawiając oba wyniki, otrzymujemy równoważną postać wyrażenia:
$8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x = x^{4} + 1 \cdot x^{2} - 6 x = x^{4} + x^{2} - 6 x$

Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 12.1