Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 1, rozwiązanie

Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 1

2 pkt

W chwili początkowej (

t = 0

) masa substancji jest równa

4

gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa

19%

masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej

t \geq 0

funkcja

m (t)

określa masę substancji w gramach po

t

pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji

m (t)

. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od

1, 5

grama. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m (t) = 4 \cdot 0, 8 1^{t}

; po

5

dobach

Po każdej dobie zostaje $81%$ masy z dnia poprzedniego (ubywa $19%$ ), więc kolejne masy $m (0), m (1), m (2), \dots$ tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $4$ i ilorazie $0, 81$ .
$m (t) = 4 \cdot 0, 8 1^{t}$
Sprawdzamy kolejne wartości funkcji, aż znajdziemy pierwszą liczbę całkowitą $t$ , dla której masa spadnie poniżej $1, 5$ grama.
$m (4) = 4 \cdot 0, 8 1^{4} \approx 1, 72 > 1, 5 m (5) = 4 \cdot 0, 8 1^{5} \approx 1, 39 < 1, 5$
Zatem masa substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1, 5$ grama po pięciu dobach.

Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 1