Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 8, rozwiązanie

Ciągi

4 pkt

Oblicz granicę

n \to + \infty lim \frac{1 + 3 + 5 + 7 + \dots + ( 2 n + 1 )}{( 2 n )}

gdzie

1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n + 1)

jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

2

Wyrazy sumy $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n + 1)$ tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_{1} = 1$ i różnicy $r = 2$ . Wyznaczamy liczbę wyrazów $k$ tej sumy z wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$a_{k} = a_{1} + (k - 1) r 2 n + 1 = 1 + (k - 1) \cdot 2 k = n + 1$
Suma składa się więc z $(n + 1)$ wyrazów. Stosujemy wzór na sumę $(n + 1)$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n + 1) = \frac{1 + ( 2 n + 1 )}{2} \cdot (n + 1) = (n + 1)^{2}$
Zapisujemy symbol Newtona $(2 n)$ w postaci ułamka:
$(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$
Obliczamy granicę, dzieląc licznik i mianownik przez $n^{2}$ :
$n \to + \infty lim \frac{( n + 1 ) ^{2}}{\frac{n ( n - 1 )}{2}} = n \to + \infty lim \frac{2 n ^{2} + 4 n + 2}{n ^{2} - n} = n \to + \infty lim \frac{2 + \frac{4}{n} + \frac{2}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n}} = 2$