Matura podstawowa sierpień 2025, zadanie 22.2, rozwiązanie

Matura podstawowa sierpień 2025, zadanie 22.2

Trygonometria

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 6

∣ A C ∣ = 4

oraz

∣∠ C A B ∣ = 6 0^{\circ}

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku

B C

trójkąta

A B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

28

Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla boku $B C$ leżącego naprzeciw kąta $C A B$ :
$∣ B C ∣^{2} = ∣ A B ∣^{2} + ∣ A C ∣^{2} - 2 \cdot ∣ A B ∣ \cdot ∣ A C ∣ \cdot cos (∠ C A B)$
Podstawiamy dane wartości ( $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ):
$∣ B C ∣^{2} = 6^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} ∣ B C ∣^{2} = 36 + 16 - 24 = 28$
Zatem:
$∣ B C ∣ = 28$