Matura podstawowa sierpień 2025, zadanie 12.2, rozwiązanie

Funkcje

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {- 2 x - 10 x - 1 dla x \in (- 5, - 3] dla x \in (- 3, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) < - 2

jest przedział ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

[- 4, 3]

; 2.

(- 4, - 1)

W pierwszym kawałku ( $x \in (- 5, - 3]$ ) funkcja $f (x) = - 2 x - 10$ jest malejąca. Dla $x$ dążącego do $- 5$ wartość $f (x)$ dąży do $0$ (bez osiągnięcia), a dla $x = - 3$ funkcja przyjmuje wartość $f (- 3) = - 2 \cdot (- 3) - 10 = - 4$ . W tym kawałku funkcja przyjmuje więc wartości z przedziału $[- 4, 0)$ .
W drugim kawałku ( $x \in (- 3, 4]$ ) funkcja $f (x) = x - 1$ jest rosnąca. Dla $x$ dążącego do $- 3$ wartość $f (x)$ dąży do $- 4$ (bez osiągnięcia), a dla $x = 4$ funkcja przyjmuje wartość $f (4) = 4 - 1 = 3$ . W tym kawałku funkcja przyjmuje wartości z przedziału $(- 4, 3]$ .
Łącząc oba zbiory wartości, otrzymujemy zbiór wartości funkcji $f$ :
$[- 4, 0) \cup (- 4, 3] = [- 4, 3]$
Rozwiązujemy nierówność $f (x) < - 2$ w pierwszym kawałku:
$- 2 x - 10 - 2 x x < - 2 < 8 > - 4$
Dla $x \in (- 5, - 3]$ otrzymujemy $x \in (- 4, - 3]$ . W drugim kawałku:
$x - 1 < - 2 ⟹ x < - 1$
Dla $x \in (- 3, 4]$ otrzymujemy $x \in (- 3, - 1)$ . Łącząc oba przedziały (punkt $x = - 3$ należy do pierwszego z nich), otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:
$(- 4, - 3] \cup (- 3, - 1) = (- 4, - 1)$