Matura podstawowa sierpień 2025, zadanie 12.1, rozwiązanie

Funkcje

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {- 2 x - 10 x - 1 dla x \in (- 5, - 3] dla x \in (- 3, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba ___.
2. Wartość wyrażenia

f (- 2) + 3 \cdot f (2)

jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1

; 2.

0

Miejsce zerowe szukamy w każdym z kawałków funkcji. W pierwszym kawałku ( $x \in (- 5, - 3]$ ) rozwiązujemy równanie $- 2 x - 10 = 0$ :
$- 2 x - 10 = 0 ⟹ x = - 5$
Liczba $- 5$ nie należy jednak do przedziału $(- 5, - 3]$ (przedział jest otwarty w tym punkcie), więc w tym kawałku funkcja nie ma miejsca zerowego. W drugim kawałku ( $x \in (- 3, 4]$ ) rozwiązujemy równanie $x - 1 = 0$ :
$x - 1 = 0 ⟹ x = 1$
Liczba $1$ należy do przedziału $(- 3, 4]$ , więc miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $1$ .
Obliczamy $f (- 2)$ : argument $- 2$ należy do przedziału $(- 3, 4]$ , więc korzystamy ze wzoru $f (x) = x - 1$ :
$f (- 2) = - 2 - 1 = - 3$
Obliczamy $f (2)$ : argument $2$ również należy do przedziału $(- 3, 4]$ :
$f (2) = 2 - 1 = 1$
Obliczamy wartość wyrażenia:
$f (- 2) + 3 \cdot f (2) = - 3 + 3 \cdot 1 = - 3 + 3 = 0$