Matura podstawowa grudzień 2024, zadanie 10, rozwiązanie

Funkcje

4 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 - x + 1 x - 3 dla x \in (- 4, - 2] dla x \in (- 2, 2] dla x \in (2, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji

f

jest przedział …………… .
2. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział …………… .
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości ujemne, jest przedział …………… .
4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje największą wartość, jest przedział …………… .

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(- 4, 4]

[- 1, 3]

(1, 3)

(- 4, - 2]

1. Dziedzina: suma przedziałów $(- 4, - 2] \cup (- 2, 2] \cup (2, 4] = (- 4, 4]$ .
2. Zbiór wartości: na $(- 4, - 2]$ funkcja przyjmuje wartość $3$ ; na $(- 2, 2]$ przyjmuje wartości od $f (- 2^{+}) = 3$ do $f (2) = - 1$ , czyli $[- 1, 3)$ ; na $(2, 4]$ przyjmuje wartości od $f (2^{+}) = - 1$ do $f (4) = 1$ , czyli $(- 1, 1]$ . Łącznie: $[- 1, 3]$ .
3. Wartości ujemne: $f (x) < 0$ tylko dla $- x + 1 < 0$ , czyli $x > 1$ , w przedziale $(- 2, 2]$ , a także dla $x - 3 < 0$ , czyli $x < 3$ , w przedziale $(2, 4]$ . Zatem argumenty, dla których $f (x) < 0$ , to $(1, 3)$ .
4. Największa wartość funkcji wynosi $3$ i jest przyjmowana dla wszystkich $x \in (- 4, - 2]$ (na tym przedziale $f (x) = 3$ ).