Matura podstawowa grudzień 2022, zadanie 24, rozwiązanie

Trygonometria

2 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = 4

∣ A B ∣ = 3

cos ∠ B A C = \frac{4}{5}

.

Oblicz pole trójkąta

A B C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = \frac{18}{5}

Oznaczamy $α = ∠ B A C$ . Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $sin α$ (kąt jest ostry):
$sin α = 1 - cos^{2} α = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}$
Obliczamy pole trójkąta ze wzoru z sinusem kąta między bokami:
$P = \frac{1}{2} \cdot ∣ A B ∣ \cdot ∣ A C ∣ \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5}$