Matura podstawowa grudzień 2022, zadanie 22, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Odcinki

A C

B D

przecinają się w punkcie

O

. Ponadto

∣ A D ∣ = 4

oraz

∣ O D ∣ = ∣ B C ∣ = 6

. Kąty

O D A

B C O

są proste (zobacz rysunek).

Długość odcinka

O C

jest równa

Poprawna odpowiedź

9

Kąty $A O D$ i $B O C$ są wierzchołkowe (równe), a kąty $O D A$ i $O C B$ są proste, więc trójkąty $A O D$ i $B O C$ są podobne (cecha kąt-kąt-kąt).
Z podobieństwa trójkątów zapisujemy proporcję:
$\frac{∣ O D ∣}{∣ O C ∣} = \frac{∣ A D ∣}{∣ B C ∣} ⟹ \frac{6}{∣ O C ∣} = \frac{4}{6}$
Wyznaczamy $∣ O C ∣$ :
$∣ O C ∣ = \frac{6 \cdot 6}{4} = 9$