Matura podstawowa grudzień 2022, zadanie 18, rozwiązanie

Trygonometria

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

\frac{1}{sin ^{2} α} + \frac{1}{cos ^{2} α} = \frac{64}{9}

.

Wartość wyrażenia

sin α \cdot cos α

jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{3}{8}

Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
$\frac{1}{sin ^{2} α} + \frac{1}{cos ^{2} α} = \frac{cos ^{2} α + sin ^{2} α}{sin ^{2} α cos ^{2} α} = \frac{1}{( sin α cos α ) ^{2}}$
Z warunku zadania:
$\frac{1}{( sin α cos α ) ^{2}} = \frac{64}{9} ⟹ (sin α cos α)^{2} = \frac{9}{64}$
Ponieważ kąt $α$ jest ostry, $sin α cos α > 0$ , więc:
$sin α cos α = \frac{3}{8}$