Matura podstawowa grudzień 2022, zadanie 17, rozwiązanie

Ciągi

2 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. W tym ciągu

a_{1} = - 5

a_{2} = 15

a_{3} = - 45

.

Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Wzór ogólny ciągu

(a_{n})

ma postać

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Poprawna odpowiedź

Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
$q = \frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{15}{- 5} = - 3$
Zapisujemy wzór ogólny ciągu — odpowiedź A:
$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1} = - 5 \cdot (- 3)^{n - 1}$
Przekształcamy ten wzór do postaci odpowiedzi E:
$- 5 \cdot (- 3)^{n - 1} = - 5 \cdot \frac{( - 3 ) ^{n}}{- 3} = 5 \cdot \frac{( - 3 ) ^{n}}{3}$