Matura podstawowa czerwiec 2025, zadanie 18, rozwiązanie

Trygonometria

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych

α

oraz

β

(zobacz rysunek). Sinus kąta

α

jest równy

\frac{4}{7}

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta $α$ jest równy $\frac{3}{7}$ .	P	F
Cosinus kąta $β$ jest równy $\frac{4}{7}$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Z jedynki trygonometrycznej obliczamy $cos α$ :
$cos^{2} α = 1 - sin^{2} α = 1 - \frac{16}{49} = \frac{33}{49} cos α = \frac{33}{7}$
Ponieważ $\frac{33}{7} \neq = \frac{3}{7}$ , pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Kąty $α$ i $β$ to kąty ostre tego samego trójkąta prostokątnego, więc $α + β = 9 0^{\circ}$ , czyli $β = 9 0^{\circ} - α$ . Stąd $cos β = cos (9 0^{\circ} - α) = sin α = \frac{4}{7}$ — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).