Matura podstawowa czerwiec 2025, zadanie 10, rozwiązanie

Funkcje

4 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - x - 2 0 x dla x \in (- 5, - 2] dla x \in (- 2, 1] dla x \in (1, 3]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji

f

jest przedział ___.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) < f (- 3)

jest przedział ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(- 5, 3]

; 2.

[0, 3]

; 3.

[- 2, 1]

; 4.

(- 3, 1]

Dziedziną funkcji jest suma dziedzin poszczególnych gałęzi:
$(- 5, - 2] \cup (- 2, 1] \cup (1, 3] = (- 5, 3]$
Wyznaczamy zbiór wartości na każdej gałęzi. Na $(- 5, - 2]$ funkcja $- x - 2$ maleje od nieosiąganej wartości $3$ (przy $x \to - 5^{+}$ ) do wartości $0$ przy $x = - 2$ , czyli przyjmuje wartości $[0, 3)$ . Na $(- 2, 1]$ funkcja jest stale równa $0$ . Na $(1, 3]$ funkcja $x$ przyjmuje wartości $(1, 3]$ . Suma tych zbiorów daje cały przedział:
$[0, 3) \cup {0} \cup (1, 3] = [0, 3]$
Wyznaczamy miejsca zerowe. Na $(- 5, - 2]$ równanie $- x - 2 = 0$ daje $x = - 2$ . Na $(- 2, 1]$ funkcja jest tożsamościowo równa zeru, więc cały ten przedział to miejsca zerowe. Na $(1, 3]$ równanie $x = 0$ nie ma rozwiązania w tym przedziale. Łącząc:
${- 2} \cup (- 2, 1] = [- 2, 1]$
Obliczamy $f (- 3)$ (argument $- 3$ należy do pierwszej gałęzi):
$f (- 3) = - (- 3) - 2 = 1$
Rozwiązujemy nierówność $f (x) < 1$ na każdej gałęzi. Na $(- 5, - 2]$ : $- x - 2 < 1 \Rightarrow x > - 3$ , po przecięciu z dziedziną gałęzi daje $(- 3, - 2]$ . Na $(- 2, 1]$ : nierówność $0 < 1$ jest zawsze prawdziwa, więc cały przedział $(- 2, 1]$ spełnia warunek. Na $(1, 3]$ : $x < 1$ nie ma rozwiązań w tym przedziale. Suma rozwiązań:
$(- 3, - 2] \cup (- 2, 1] = (- 3, 1]$