Matura podstawowa marzec 2026, zadanie 16, rozwiązanie

Ciągi

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest malejący. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek

a_{6} = 25 \cdot a_{8}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{1}{5}

Zapisujemy wyrazy $a_{6}$ i $a_{8}$ za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu $q$ :
$a_{6} = a_{1} q^{5}, a_{8} = a_{1} q^{7}$
Podstawiamy do warunku zadania:
$a_{1} q^{5} = 25 \cdot a_{1} q^{7} ⟹ 1 = 25 q^{2} ⟹ q^{2} = \frac{1}{25} ⟹ q = \pm \frac{1}{5}$
Ciąg jest malejący. Iloraz ujemny dawałby ciąg naprzemienny (niemonotoniczny), więc odrzucamy $q = - \frac{1}{5}$ . Pozostaje $q = \frac{1}{5}$ , dla którego (przy dodatnim $a_{1}$ ) ciąg rzeczywiście maleje.