Matura podstawowa marzec 2026, zadanie 17, rozwiązanie

Trygonometria

2 pkt

Kąt o mierze

α

jest rozwarty oraz

sin α = \frac{1}{3}

.

Oblicz wartość wyrażenia

\frac{3 sin α}{t g α}

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

- 6

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć $cos α$ :
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1 ⟹ (\frac{1}{3})^{2} + cos^{2} α = 1 ⟹ cos^{2} α = \frac{2}{3}$
Kąt $α$ jest rozwarty, więc $cos α < 0$ :
$cos α = - \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} = - \frac{6}{3}$
Przekształcamy wyrażenie, korzystając ze związku $t g α = \frac{sin α}{cos α}$ :
$\frac{3 sin α}{t g α} = 3 sin α \cdot \frac{cos α}{sin α} = 3 cos α$
Podstawiamy obliczoną wartość $cos α$ :
$3 cos α = 3 \cdot (- \frac{6}{3}) = - 6$