Matura podstawowa maj 2026, zadanie 24.2, rozwiązanie

Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, - 3)

B = (2, 1)

oraz

C = (0, 2)

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Środek okręgu opisanego na trójkącie

A B C

ma współrzędne

Poprawna odpowiedź

(0, - \frac{1}{2})

Sprawdzamy, w którym wierzchołku jest kąt prosty, licząc iloczyn skalarny wektorów $B A$ i $B C$ :
$B A = (- 2, - 4), B C = (- 2, 1), B A \cdot B C = 4 - 4 = 0$
Kąt prosty jest w wierzchołku $B$ , więc przeciwprostokątną jest odcinek $A C$ . Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej:
$(\frac{0 + 0}{2}, \frac{- 3 + 2}{2}) = (0, - \frac{1}{2})$