Matura podstawowa czerwiec 2026, zadanie 18, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Punkty

A

B

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

.
Odcinek

B D

jest średnicą tego okręgu oraz

∣∠ A B D ∣ = 18°

.
Punkt

D

leży na krótszym łuku

C A

(zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego

B C A

jest równa

Poprawna odpowiedź

72°

Odcinek $B D$ jest średnicą okręgu, więc z twierdzenia Talesa kąt wpisany $B A D$ , oparty na tej średnicy, jest kątem prostym:
$∣∠ B A D ∣ = 90°$
W trójkącie $A B D$ znamy już dwa kąty, więc trzeci obliczamy z sumy kątów w trójkącie:
$∣∠ A D B ∣ = 180° - 90° - 18° = 72°$
Kąty wpisane $A D B$ i $A C B$ są oparte na tym samym łuku $A B$ (niezawierającym punktów $C$ ani $D$ ), więc mają równą miarę:
$∣∠ B C A ∣ = ∣∠ A D B ∣ = 72°$