Matura podstawowa czerwiec 2026, zadanie 19, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie

A

przecięto dwiema prostymi równoległymi

k

oraz

l

.
Prosta

k

przecina ramiona tego kąta w punktach

B

oraz

C

.
Prosta

l

przecina ramiona tego kąta w punktach

D

oraz

E

.
Punkty

B

oraz

D

leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty

C

oraz

E

leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto

∣ A B ∣ = 6

∣ B C ∣ = 4

oraz

∣ B D ∣ = 2

(zobacz rysunek).

Odcinek

D E

ma długość

Poprawna odpowiedź

\frac{16}{3}

Ponieważ $k ∥ l$ , trójkąty $A B C$ i $A D E$ są podobne (mają wspólny kąt przy wierzchołku $A$ oraz równe kąty odpowiadające przy przecięciu prostymi równoległymi).
Obliczamy długość odcinka $A D$ :
$∣ A D ∣ = ∣ A B ∣ + ∣ B D ∣ = 6 + 2 = 8$
Z podobieństwa trójkątów odpowiednie boki są proporcjonalne:
$\frac{∣ A B ∣}{∣ A D ∣} = \frac{∣ B C ∣}{∣ D E ∣}$
Podstawiamy dane i wyznaczamy $∣ D E ∣$ :
$\frac{6}{8} = \frac{4}{∣ D E ∣} ⟹ ∣ D E ∣ = \frac{4 \cdot 8}{6} = \frac{16}{3}$