Matura podstawowa sierpień 2025, zadanie 25, rozwiązanie

Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

O : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 4

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Okrąg $O$ nie ma punktów wspólnych z osią $O x$ układu współrzędnych.	P	F
Okrąg $O$ ma z osią $O y$ układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.	P	F

Poprawna odpowiedź

Odczytujemy z równania okręgu środek i promień: $O$ ma środek $S = (1, - 3)$ i promień $r = 2$ .
Odległość środka od osi $O x$ to wartość bezwzględna współrzędnej $y$ środka:
$d (S, O x) = ∣ - 3∣ = 3 > 2 = r$
Skoro odległość środka od osi $O x$ jest większa od promienia, okrąg nie ma punktów wspólnych z tą osią — stwierdzenie pierwsze jest prawdziwe (P).
Odległość środka od osi $O y$ to wartość bezwzględna współrzędnej $x$ środka:
$d (S, O y) = ∣1∣ = 1 < 2 = r$
Skoro odległość środka od osi $O y$ jest mniejsza od promienia, okrąg przecina tę oś w dokładnie dwóch punktach — stwierdzenie drugie jest prawdziwe (P).