Matura podstawowa sierpień 2025, zadanie 9, rozwiązanie

Nierówności

2 pkt

Rozwiąż nierówność

- 3 x^{2} > 6 x - 9

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- 3, 1)

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, a następnie dzielimy nierówność przez $(- 3)$ , zmieniając znak nierówności na przeciwny:
$- 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x + 9 x^{2} + 2 x - 3 > 6 x - 9 > 0 / : (- 3) < 0$
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $x^{2} + 2 x - 3$ :
$Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4 + 12 = 16$
Obliczamy miejsca zerowe:
$x_{1} = \frac{- 2 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{- 6}{2} = - 3, x_{2} = \frac{- 2 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$
Ponieważ współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni, parabola ma ramiona skierowane do góry, więc wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi. Szkicujemy wykres i odczytujemy przedział, w którym $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ :
Zbiorem rozwiązań nierówności jest zatem przedział:
$x \in (- 3, 1)$