Matura podstawowa maj 2025, zadanie 20, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

W trójkącie równoramiennym

A B C

dane są:

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 4

∣ A B ∣ = 3

.
Na boku

B C

, między punktami

B

C

, wybrano taki punkt

D

, że trójkąty

A B C

B D A

są podobne (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek

B D

ma długość

Poprawna odpowiedź

2, 25

Trójkąty $A B C$ i $B D A$ są podobne, z odpowiedniością wierzchołków $A \leftrightarrow B$ , $B \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow A$ (wynika ona z kolejności liter w nazwach trójkątów), więc odpowiednie boki są proporcjonalne:
$\frac{A B}{B D} = \frac{B C}{D A} = \frac{C A}{A B}$
Korzystamy z proporcji łączącej boki $A B$ , $B D$ oraz $C A$ , $A B$ , podstawiając długości boków trójkąta $A B C$ :
$\frac{A B}{B D} = \frac{C A}{A B} ⟹ \frac{3}{B D} = \frac{4}{3}$
Wyznaczamy $B D$ :
$B D = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2, 25$