Matura podstawowa maj 2025, zadanie 21, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 11

∣ B C ∣ = 12

oraz

∣∠ A B C ∣ = 60°

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt $A B C$ jest równoramienny.	P	F
Pole trójkąta $A B C$ jest równe $333$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Obliczamy długość boku $A C$ z twierdzenia cosinusów:
$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos 60° = 1 1^{2} + 1 2^{2} - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 133$
Stąd $A C = 133 \approx 11, 5$ . Żadne dwa boki trójkąta nie są sobie równe ( $11$ , $12$ , $133$ ), więc trójkąt $A B C$ nie jest równoramienny — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Obliczamy pole trójkąta ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot sin ∠ A B C$ :
$P = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot sin 60° = 66 \cdot \frac{3}{2} = 333$
Pole rzeczywiście jest równe $333$ , więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.