Matura podstawowa maj 2025, zadanie 18.2, rozwiązanie

Trygonometria

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

B C

jest przeciwprostokątną, przyprostokątna

A B

ma długość

6

, a środkowa

C D

ma długość

5

.
Oznaczmy kąt

A D C

przez

α

, natomiast kąt

A B C

– przez

β

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

β

jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{2}{13}

Podobnie jak poprzednio, $D$ jest środkiem boku $A B$ (bo $C D$ to środkowa z wierzchołka $C$ ), więc $A D = 3$ . Kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty, więc z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A C D$ wyznaczamy $A C$ :
$A C = C D^{2} - A D^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 4$
Obliczamy długość przeciwprostokątnej $B C$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A B C$ :
$B C = A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 4^{2} = 52 = 213$
Sinus kąta $β$ (przy wierzchołku $B$ ) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ( $A C$ ) do przeciwprostokątnej:
$sin β = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{2 13} = \frac{2}{13}$