Matura podstawowa maj 2025, zadanie 18.1, rozwiązanie

Trygonometria

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

B C

jest przeciwprostokątną, przyprostokątna

A B

ma długość

6

, a środkowa

C D

ma długość

5

.
Oznaczmy kąt

A D C

przez

α

, natomiast kąt

A B C

– przez

β

(zobacz rysunek).

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{4}{3}

Odcinek $C D$ jest środkową poprowadzoną z wierzchołka $C$ , więc punkt $D$ jest środkiem boku $A B$ , skąd $A D = D B = 3$ .
Kąt przy wierzchołku $A$ w trójkącie $A B C$ jest prosty (bo $B C$ jest przeciwprostokątną), więc kąt przy $A$ jest prosty również w trójkącie $A C D$ . Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość $A C$ :
$A C = C D^{2} - A D^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16 = 4$
Tangens kąta $α$ (przy wierzchołku $D$ w trójkącie $A C D$ ) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie:
$t g α = \frac{A C}{A D} = \frac{4}{3}$