Matura podstawowa maj 2022, zadanie 32, rozwiązanie

Trygonometria

2 pkt

Kąt

α

jest ostry i

tg α = 2

. Oblicz wartość wyrażenia

sin^{2} α

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

sin^{2} α = \frac{4}{5}

Korzystamy z definicji tangensa: skoro $tg α = 2$ , to $\frac{sin α}{cos α} = 2$ , czyli $sin α = 2 cos α$ .
Podstawiamy ten związek do jedynki trygonometrycznej $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ :
$(2 cos α)^{2} + cos^{2} α = 1$
Upraszczamy i wyznaczamy $cos^{2} α$ :
$5 cos^{2} α = 1 cos^{2} α = \frac{1}{5}$
Ponownie korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć $sin^{2} α$ :
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1 sin^{2} α + \frac{1}{5} = 1 sin^{2} α = \frac{4}{5}$