Matura podstawowa maj 2022, zadanie 15, rozwiązanie

Ciągi

1 pkt

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, są dodatnie i

9 a_{5} = 4 a_{3}

. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{2}{3}

Wyrażamy $a_{5}$ przez $a_{3}$ i iloraz $q$ :
$a_{5} = a_{3} \cdot q^{2}$
Podstawiamy do równania $9 a_{5} = 4 a_{3}$ i dzielimy obie strony przez $a_{3}$ (wyraz dodatni, więc $a_{3} \neq = 0$ ):
$9 a_{3} q^{2} = 4 a_{3} ⟹ q^{2} = \frac{4}{9}$
Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc iloraz musi być dodatni:
$q = \frac{2}{3}$