Egzamin ósmoklasisty styczeń 2026, zadanie 9, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Trójkąty

A B C

A B D

są równoramienne. Miara kąta między ramionami trójkąta

A B C

jest równa

80°

, a miara kąta między ramionami trójkąta

A B D

jest równa

40°

. Punkt

S

jest punktem przecięcia odcinków

A C

B D

(zobacz rysunek).

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Kąt

A S B

jest ___.

Miara kąta

D A C

jest równa ___.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Poprawna odpowiedź

B, C

Trójkąt $A B C$ jest równoramienny, a kąt między jego ramionami (przy wierzchołku $C$ ) jest równy $80°$ . Oba kąty przy podstawie $A B$ są więc równe:
$∠ C A B = ∠ C B A = \frac{180° - 80°}{2} = 50°$
Trójkąt $A B D$ jest równoramienny, a kąt między jego ramionami (przy wierzchołku $B$ ) jest równy $40°$ . Oba kąty przy podstawie $A D$ są więc równe:
$∠ D A B = ∠ A D B = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$
Odcinek $A C$ leży wewnątrz kąta $D A B$ , więc kąt $D A C$ to różnica kątów $D A B$ i $C A B$ :
$∠ D A C = ∠ D A B - ∠ C A B = 70° - 50° = 20°$
W trójkącie $A S B$ kąt przy wierzchołku $A$ to $∠ C A B = 50°$ (bo $S$ leży na odcinku $A C$ ), a kąt przy wierzchołku $B$ to $∠ D B A = 40°$ (bo $S$ leży na odcinku $B D$ ). Z sumy kątów w trójkącie obliczamy kąt $A S B$ :
$∠ A S B = 180° - 50° - 40° = 90°$
Kąt $90°$ jest kątem prostym, więc kąt $A S B$ jest prosty, a miara kąta $D A C$ jest równa $20°$ .