Egzamin ósmoklasisty maj 2026, zadanie 12, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Na kartce w kratkę Jurek wykonał rysunek. Na tym rysunku punkty

M

W

S

oznaczają położenia odpowiednio: muzeum, wieży widokowej oraz schroniska. Wieża widokowa znajduje się

3

km na północ i

4

km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się

5

km na wschód od schroniska.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.	P	F
Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż $10$ km.	P	F

Poprawna odpowiedź

Wprowadzamy układ współrzędnych, w którym schronisko $S$ leży w punkcie $(0, 0)$ . Wieża widokowa jest $4$ km na zachód i $3$ km na północ od $S$ , więc $W = (- 4, 3)$ . Muzeum jest $5$ km na wschód od $S$ , więc $M = (5, 0)$ .
Odległość schroniska od muzeum (leżą na tej samej równoleżnikowej linii):
$∣ S M ∣ = 5$
Odległość schroniska od wieży widokowej liczymy z twierdzenia Pitagorasa:
$∣ S W ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$
Obie odległości są równe $5$ km, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
Odległość muzeum od wieży widokowej liczymy z różnic współrzędnych:
$∣ M W ∣ = (5 - (- 4))^{2} + (0 - 3)^{2} = 9^{2} + 3^{2} = 81 + 9 = 90 \approx 9, 49$
To mniej niż $10$ km, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).