Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 3, rozwiązanie

Geometria przestrzenna

3 pkt

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy

123

.
Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe

12 π (3 + 1)

.

Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 18 π 2

Niech $r$ oznacza promień podstawy walca, a $h$ – wysokość walca. Z treści zadania zapisujemy dwa równania:
$2 r \cdot h = 123 2 π r^{2} + 2 π r h = 12 π (3 + 1)$
Z pierwszego równania wyznaczamy $h$ i podstawiamy do drugiego:
$h = \frac{6 3}{r} 2 π r^{2} + 2 π r \cdot \frac{6 3}{r} = 12 π (3 + 1)$
Upraszczamy i wyznaczamy $r^{2}$ :
$2 π r^{2} + 123 π = 12 π (3 + 1) ⟹ r^{2} = 6$
Stąd:
$r = 6, h = \frac{6 3}{6} = 32$
Obliczamy objętość $V$ walca:
$V = π r^{2} h = π \cdot 6 \cdot 32 = 18 π 2$