Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 13.1, rozwiązanie

Planimetria

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

3456

, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż

83

. Wykaż, że pole

P

powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (a) = \frac{a ^{2} 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

Z wzoru na objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego i pola trójkąta równobocznego wyznaczamy wysokość $H$ :
$3456 = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H ⟹ H = \frac{4 \cdot 3456}{a ^{2} 3} = \frac{13824 3}{3 a ^{2} \cdot 3} = \frac{4608 3}{a ^{2}}$
Pole powierzchni całkowitej (2 podstawy + 3 boczne ściany):
$P = 2 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} + 3 a H = \frac{a ^{2} 3}{2} + 3 a \cdot \frac{4608 3}{a ^{2}}$
Upraszczamy:
$P (a) = \frac{a ^{2} 3}{2} + \frac{13824 3}{a}$