Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 4, rozwiązanie

Pochodne

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{3} - 3 x + 2}{x}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

P

, o pierwszej współrzędnej równej

2

, należy do wykresu funkcji

f

. Prosta o równaniu

y = a x + b

jest styczna do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

. Oblicz współczynniki

a

oraz

b

w równaniu tej stycznej.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = \frac{7}{2}, b = - 5

Wyznaczamy pochodną funkcji $f$ korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu:
$f^{'} (x) = \frac{( 3 x ^{2} - 3 ) \cdot x - ( x ^{3} - 3 x + 2 ) \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{3} - 2}{x ^{2}}$
Obliczamy współczynnik kierunkowy stycznej (wartość pochodnej w $x = 2$ ):
$a = f^{'} (2) = \frac{2 \cdot 8 - 2}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$
Obliczamy wartość funkcji w punkcie $P$ :
$f (2) = \frac{8 - 6 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Wyznaczamy współczynnik $b$ z równania stycznej $y = a x + b$ przy $x = 2$ , $y = 2$ :
$2 = \frac{7}{2} \cdot 2 + b ⟹ b = 2 - 7 = - 5$