Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 3, rozwiązanie

Prawdopodobieństwo

3 pkt

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36\% tłuszczu, jest równe

0, 01

. Kontroli poddajemy 10 losowo wybranych opakowań ze śmietaną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36\% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

0, 996

Sukcesem jest wylosowanie opakowania z zawartością tłuszczu poniżej 36\%. Określamy prawdopodobieństwo sukcesu i porażki:
$p = 0, 01 q = 1 - p = 0, 99$
Szukamy prawdopodobieństwa co najwyżej jednego sukcesu w 10 próbach Bernoullego:
$P = (0 10) (0, 01)^{0} (0, 99)^{10} + (1 10) (0, 01)^{1} (0, 99)^{9}$
Upraszczamy:
$P = (0, 99)^{9} \cdot (0, 99 + 10 \cdot 0, 01) = (0, 99)^{9} \cdot 1, 09$
Obliczamy wartość końcową:
$P \approx 0, 996$