Matura podstawowa grudzień 2024, zadanie 14, rozwiązanie

Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 \cdot (- 1)^{n} + 10

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.	P	F
Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $80$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Obliczamy pierwsze wyrazy: $a_{1} = 3 (- 1)^{1} + 10 = 7$ , $a_{2} = 3 (- 1)^{2} + 10 = 13$ , $a_{3} = 7$ .
Pierwsze zdanie: ilorazy $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{13}{7}$ , $\frac{a _{3}}{a _{2}} = \frac{7}{13}$ — nie są równe, ciąg nie jest geometryczny. Fałsz (F).
Drugie zdanie: wyrazy na przemian: $7, 13, 7, 13, \dots$ Suma 8 wyrazów (4 pary):
$S_{8} = 4 \cdot (7 + 13) = 4 \cdot 20 = 80$
Drugie zdanie jest Prawdziwe (P).