Matura podstawowa grudzień 2022, zadanie 26, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Dany jest trapez

A B C D

, w którym

A B ∥ C D

oraz przekątne

A C

B D

przecinają się w punkcie

O

(zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa

12

. Obwód trójkąta

A B O

jest równy

39

, a obwód trójkąta

C D O

jest równy

13

.

Wysokość trójkąta

A B O

poprowadzona z punktu

O

jest równa

Poprawna odpowiedź

9

Ponieważ $A B ∥ C D$ , trójkąty $A B O$ i $C D O$ są podobne. Skala podobieństwa jest równa stosunkowi ich obwodów:
$k = \frac{39}{13} = 3$
Wysokości trójkątów poprowadzone z punktu $O$ są w tym samym stosunku. Oznaczając wysokość trójkąta $C D O$ przez $h$ , mamy $h_{A B O} = 3 h$ , a ich suma to wysokość trapezu:
$3 h + h = 12 ⟹ h = 3$
Wysokość trójkąta $A B O$ poprowadzona z punktu $O$ :
$h_{A B O} = 3 \cdot 3 = 9$