Matura podstawowa czerwiec 2025, zadanie 31, rozwiązanie

Funkcja kwadratowa

1 pkt

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk

Z

ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem

Z (x) = (500 + 50 x) (16 - x)

gdzie:

x

– kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki

x \geq 1

x \leq 14

Z

– roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Roczny zysk

Z

ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla

x

równego

Poprawna odpowiedź

3

Zapisujemy wzór funkcji $Z$ w postaci ogólnej, mnożąc nawiasy:
$Z (x) = (500 + 50 x) (16 - x) = 8000 - 500 x + 800 x - 50 x^{2} = - 50 x^{2} + 300 x + 8000$
To funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy $x^{2}$ , więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół — największą wartość przyjmuje w wierzchołku, dla $x = - \frac{b}{2 a}$ :
$x = - \frac{300}{2 \cdot ( - 50 )} = \frac{300}{100} = 3$
Liczba $x = 3$ spełnia warunki $x \geq 1$ i $x \leq 14$ , więc roczny zysk jest największy dla $x = 3$ .