Matura podstawowa czerwiec 2025, zadanie 14.2, rozwiązanie

Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ są liczbami parzystymi.	P	F

Poprawna odpowiedź

Obliczamy różnice kolejnych wyrazów: $a_{1} = 0$ , $a_{2} = 6$ , $a_{3} = 18$ , więc $a_{2} - a_{1} = 6$ , a $a_{3} - a_{2} = 12$ . Różnice nie są sobie równe, zatem ciąg $(a_{n})$ NIE jest arytmetyczny — stwierdzenie pierwsze jest fałszywe (F).
Zapisujemy wzór ciągu w postaci iloczynowej:
$a_{n} = 3 n^{2} - 3 n = 3 n (n - 1)$
Liczby $n$ i $n - 1$ to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich zawsze jest parzysta, a ich iloczyn $n (n - 1)$ jest parzysty. Zatem $3 n (n - 1)$ też jest parzyste — wszystkie wyrazy ciągu są parzyste, stwierdzenie drugie jest prawdziwe (P).