Matura podstawowa marzec 2026, zadanie 20, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Punkty

A

B

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Punkt

K

jest punktem przecięcia cięciwy

A C

i średnicy

B D

. Kąt

C O B

jest prosty, a kąt

A K D

ma miarę

78°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego

B D A

jest równa

Poprawna odpowiedź

57°

Ponieważ $B D$ jest średnicą okręgu, kąt wpisany $B A D$ oparty na tej średnicy jest kątem prostym (twierdzenie Talesa):
$∠ B A D = 90°$
Kąt środkowy $C O B$ ma miarę $90°$ i jest oparty na tym samym łuku $B C$ co kąt wpisany $B A C$ , więc kąt wpisany jest o połowę mniejszy:
$∠ B A C = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°$
Kąt $D A C$ (punkt $C$ leży wewnątrz kąta $B A D$ ) to różnica kątów $B A D$ i $B A C$ :
$∠ D A C = ∠ B A D - ∠ B A C = 90° - 45° = 45°$
W trójkącie $A K D$ suma miar kątów wynosi $180°$ . Kąt $D A K$ to ten sam kąt co $D A C$ (punkt $K$ leży na odcinku $A C$ ), a kąt $A K D$ ma miarę $78°$ :
$∠ A D K = 180° - ∠ A K D - ∠ D A K = 180° - 78° - 45° = 57°$
Kąt $A D K$ to ten sam kąt co szukany kąt ostry $B D A$ (punkt $K$ leży na odcinku $B D$ ), więc:
$∠ B D A = 57°$