Matura podstawowa maj 2026, zadanie 20, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Na płaszczyźnie dane są cztery proste:

k

l

m

oraz

n

. Proste

k

oraz

l

są równoległe.
Prosta

m

przecina proste

k

oraz

l

w punktach – odpowiednio –

A

oraz

C

.
Prosta

n

przecina proste

k

oraz

l

w punktach – odpowiednio –

D

oraz

B

.
Odcinki

A C

B D

przecinają się w punkcie

O

.
Ponadto

∣ O A ∣ = 12

∣ O B ∣ = 6

oraz

∣ O C ∣ = 8

(zobacz rysunek).

Odcinek

O D

ma długość

Poprawna odpowiedź

9

Ponieważ $k ∥ l$ , kąty naprzemianległe przy przecięciu prostymi $m$ i $n$ są równe, więc trójkąty $O A D$ i $O C B$ są podobne (cecha kąt-kąt).
Z podobieństwa trójkątów odpowiednie boki są proporcjonalne:
$\frac{∣ O A ∣}{∣ O C ∣} = \frac{∣ O D ∣}{∣ O B ∣}$
Podstawiamy dane:
$\frac{12}{8} = \frac{∣ O D ∣}{6} ⟹ ∣ O D ∣ = \frac{12 \cdot 6}{8} = 9$