Matura podstawowa maj 2026, zadanie 17, rozwiązanie

Ciągi

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek

a_{3} \cdot a_{6} = 18

.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Iloczyn

a_{2} \cdot a_{7}

jest równy ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

18

Oznaczmy pierwszy wyraz przez $a_{1}$ i iloraz przez $q$ . Wtedy:
$a_{3} \cdot a_{6} = a_{1} q^{2} \cdot a_{1} q^{5} a_{3} \cdot a_{6} = a_{1}^{2} q^{7}$
Podobnie $a_{2} \cdot a_{7}$ :
$a_{2} \cdot a_{7} = a_{1} q \cdot a_{1} q^{6} a_{2} \cdot a_{7} = a_{1}^{2} q^{7}$
Więc wychodzi na to, że oba wyrażenia możno sprowadzić do tego samego $a_{2} \cdot a_{7} = a_{1}^{2} q^{7} = a_{3} \cdot a_{6}$ , więc:
$a_{2} \cdot a_{7} = a_{3} \cdot a_{6} = 18$