Matura podstawowa czerwiec 2026, zadanie 26, rozwiązanie

Geometria przestrzenna

1 pkt

Tworząca stożka o promieniu podstawy

3

ma długość

6

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.	P	F
Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60°$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Obliczamy pole powierzchni bocznej i pole podstawy stożka ( $r = 3$ , $l = 6$ ):
$P_{b} = π r l = π \cdot 3 \cdot 6 = 18 π, P_{p} = π r^{2} = π \cdot 3^{2} = 9 π$
Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie: $18 π$ jest dwa razy większe od $9 π$ , więc stwierdzenie jest prawdziwe (P).
Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi w przekroju osiowym, czyli dwukrotność kąta między tworzącą a wysokością. Obliczamy sinus tego kąta:
$sin α = \frac{r}{l} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ⟹ α = 30°$
Kąt rozwarcia stożka jest więc równy $2 α = 60°$ — drugie stwierdzenie też jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.