Matura podstawowa czerwiec 2026, zadanie 16, rozwiązanie

Ciągi

1 pkt

Pięciowyrazowy ciąg

(a_{1}, a_{2}, 2, a_{4}, a_{5})

jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn

a_{1} \cdot a_{2} \cdot 2 \cdot a_{4} \cdot a_{5}

jest równy

Poprawna odpowiedź

32

Oznaczmy iloraz ciągu geometrycznego przez $q$ . Środkowy wyraz to $a_{3} = 2$ , więc:
$a_{1} = \frac{2}{q ^{2}}, a_{2} = \frac{2}{q}, a_{4} = 2 q, a_{5} = 2 q^{2}$
Mnożymy skrajne pary wyrazów, w każdej z nich czynniki $q$ się skracają:
$a_{1} \cdot a_{5} = \frac{2}{q ^{2}} \cdot 2 q^{2} = 2^{2}, a_{2} \cdot a_{4} = \frac{2}{q} \cdot 2 q = 2^{2}$
Cały iloczyn to zatem $2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2$ , czyli piąta potęga środkowego wyrazu:
$a_{1} \cdot a_{2} \cdot 2 \cdot a_{4} \cdot a_{5} = 2^{5} = 32$