Matura podstawowa maj 2025, zadanie 11, rozwiązanie

Funkcje

4 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 5 3 - 3 x + 9 dla x \in [- 4, - 2] dla x \in (- 2, 2] dla x \in (2, 4)

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ___.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania

f (x) = 3

jest przedział ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

[- 4, 4)

; 2.

(- 3, 3]

; 3.

[- 4, 3)

; 4.

[- 2, 2]

Dziedziną funkcji jest suma przedziałów, na których jest ona określona:
$[- 4, - 2] \cup (- 2, 2] \cup (2, 4) = [- 4, 4)$
Odczytujemy wartości funkcji na poszczególnych kawałkach: na pierwszym ( $x + 5$ ) wartości rosną od $f (- 4) = 1$ do $f (- 2) = 3$ , na drugim funkcja jest stała i równa $3$ , a na trzecim ( $- 3 x + 9$ ) wartości maleją od $3$ (wyłącznie) do $- 3$ (wyłącznie). Łącząc te zbiory wartości, otrzymujemy przedział:
$(- 3, 3]$
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie tam, gdzie wykres leży powyżej osi $O x$ . Na pierwszym i drugim kawałku wartości są dodatnie na całej ich dziedzinie. Na trzecim kawałku rozwiązujemy nierówność:
$- 3 x + 9 > 0 ⟹ x < 3$
Łącząc powyższe przedziały ( $[- 4, - 2]$ , $(- 2, 2]$ oraz $(2, 3)$ ), otrzymujemy zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
$[- 4, 3)$
Rozwiązujemy równanie $f (x) = 3$ na każdym kawałku. Na pierwszym:
$x + 5 = 3 ⟹ x = - 2$
Ten wynik należy do dziedziny pierwszego kawałka. Na drugim kawałku funkcja jest stale równa $3$ dla każdego $x \in (- 2, 2]$ . Na trzecim:
$- 3 x + 9 = 3 ⟹ x = 2$
Wartość $x = 2$ nie należy do dziedziny trzeciego kawałka (jest już uwzględniona w drugim). Łącząc rozwiązania, otrzymujemy zbiór:
$[- 2, 2]$